1580.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U datim jednačinama odrediti realni parametar m m tako da rešenja jednačine zadovoljavaju date relacije (zadaci 213-214):

x2−x+m−1=0,x13+x23=7x^2 - x + m - 1 = 0, \quad x_1^3 + x_2^3 = 7
REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih pravila za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0, ax^2 + bx + c = 0 , zbir i proizvod rešenja su:

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Za zadatu jednačinu koeficijenti su a=1, a = 1 , b=−1 b = -1 i c=m−1. c = m - 1 . Primenjujemo Vijetova pravila:

x1+x2=−−11=1,x1x2=m−11=m−1x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1, \quad x_1 x_2 = \frac{m - 1}{1} = m - 1

Datu relaciju x13+x23=7 x_1^3 + x_2^3 = 7 transformišemo koristeći algebarski identitet za zbir kubova:

x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)

Izraz x12+x22 x_1^2 + x_2^2 možemo zapisati kao (x1+x2)2−2x1x2, (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 , pa zamenom u prethodni izraz dobijamo:

x13+x23=(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih pravila u transformisanu relaciju:

1⋅(12−3(m−1))=71 \cdot (1^2 - 3(m - 1)) = 7

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po nepoznatoj m: m :

1−3m+3=71 - 3m + 3 = 7

Sređivanjem dobijamo vrednost parametra m: m :

4−3m=7  ⟹  −3m=3  ⟹  m=−14 - 3m = 7 \implies -3m = 3 \implies m = -1

Pošto se traži da rešenja jednačine budu realna, proveravamo da li je diskriminanta nenegativna (D≥0 D \ge 0 ) za dobijeno m=−1: m = -1 :

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−1−1)D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1 - 1)

Računamo vrednost diskriminante:

D=1−4(−2)=1+8=9D = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9

Kako je D=9>0, D = 9 > 0 , rešenja jednačine su realna. Konačno rešenje zadatka je:

m=−1m = -1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti