Zbir kubova rešenja: odredi m ako je zbir jednak 7

Na osnovu Vijetovih pravila za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0 ,$ zbir i proizvod rešenja su:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Za zadatu jednačinu koeficijenti su $a = 1 ,$ $b = -1$ i $c = m - 1 .$ Primenjujemo Vijetova pravila:

x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1, \quad x_1 x_2 = \frac{m - 1}{1} = m - 1

Datu relaciju $x_1^3 + x_2^3 = 7$ transformišemo koristeći algebarski identitet za zbir kubova:

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)

Izraz $x_1^2 + x_2^2$ možemo zapisati kao $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 ,$ pa zamenom u prethodni izraz dobijamo:

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih pravila u transformisanu relaciju:

1 \cdot (1^2 - 3(m - 1)) = 7

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po nepoznatoj $m :$

1 - 3m + 3 = 7

Sređivanjem dobijamo vrednost parametra $m :$

4 - 3m = 7 \implies -3m = 3 \implies m = -1

Pošto se traži da rešenja jednačine budu realna, proveravamo da li je diskriminanta nenegativna ( $D \ge 0$ ) za dobijeno $m = -1 :$

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1 - 1)

Računamo vrednost diskriminante:

D = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9

Kako je $D = 9 > 0 ,$ rešenja jednačine su realna. Konačno rešenje zadatka je:

m = -1

213