1579.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U datim jednačinama odrediti realni parametar m m tako da rešenja jednačine zadovoljavaju date relacije (zadaci 213-214): (m−1)x2+(m+1)x+m+1=0, (m - 1)x^2 + (m + 1)x + m + 1 = 0 , x13+x23=x12x22. x_1^3 + x_2^3 = x_1^2x_2^2 .

REŠENJE ZADATKA

Da bi data jednačina uopšte bila kvadratna, koeficijent uz x2 x^2 mora biti različit od nule, pa postavljamo uslov:

m−1≠0  ⟹  m≠1m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 su:

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo Vijetove formule na našu jednačinu:

x1+x2=−m+1m−1,x1x2=m+1m−1x_1 + x_2 = -\frac{m+1}{m-1}, \quad x_1 x_2 = \frac{m+1}{m-1}

Primetimo da važi jednostavna veza između zbira i proizvoda rešenja:

x1+x2=−x1x2x_1 + x_2 = -x_1 x_2

Sada transformišemo datu relaciju x13+x23=x12x22 x_1^3 + x_2^3 = x_1^2x_2^2 kako bismo je izrazili preko zbira i proizvoda rešenja. Zbir kubova se može zapisati kao:

x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)=(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)

Zamenjujemo ovu transformaciju u početnu relaciju, dok desnu stranu zapisujemo kao kvadrat proizvoda:

(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)=(x1x2)2(x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = (x_1 x_2)^2

Uvodimo oznake radi lakšeg zapisivanja. Neka je zbir rešenja S=x1+x2 S = x_1 + x_2 i proizvod P=x1x2. P = x_1 x_2 . Naša relacija postaje:

S(S2−3P)=P2S(S^2 - 3P) = P^2

Iz Koraka 4 znamo da je S=−P. S = -P . Zamenjujemo ovo u prethodnu jednačinu:

−P((−P)2−3P)=P2-P((-P)^2 - 3P) = P^2

Sređujemo jednačinu:

−P(P2−3P)=P2  ⟹  −P3+3P2=P2-P(P^2 - 3P) = P^2 \implies -P^3 + 3P^2 = P^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i faktorišemo izraz:

−P3+2P2=0  ⟹  −P2(P−2)=0-P^3 + 2P^2 = 0 \implies -P^2(P - 2) = 0

Odatle dobijamo dva moguća slučaja za proizvod rešenja P: P :

P=0iliP=2P = 0 \quad \text{ili} \quad P = 2

Prvi slučaj: P=0. P = 0 . Zamenjujemo izraz za proizvod rešenja i računamo m: m :

m+1m−1=0  ⟹  m+1=0  ⟹  m=−1\frac{m+1}{m-1} = 0 \implies m + 1 = 0 \implies m = -1

Drugi slučaj: P=2. P = 2 . Zamenjujemo izraz za proizvod rešenja:

m+1m−1=2  ⟹  m+1=2(m−1)\frac{m+1}{m-1} = 2 \implies m + 1 = 2(m - 1)

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po m: m :

m+1=2m−2  ⟹  m=3m + 1 = 2m - 2 \implies m = 3

Obe dobijene vrednosti, m=−1 m = -1 i m=3, m = 3 , zadovoljavaju početni uslov m≠1, m \neq 1 , pa su obe rešenje zadatka.

m∈{−1,3}m \in \{-1, 3\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti