1579. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Da bi data jednačina uopšte bila kvadratna, koeficijent uz $x^2$ mora biti različit od nule, pa postavljamo uslov:

m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ su:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo Vijetove formule na našu jednačinu:

x_1 + x_2 = -\frac{m+1}{m-1}, \quad x_1 x_2 = \frac{m+1}{m-1}

Primetimo da važi jednostavna veza između zbira i proizvoda rešenja:

x_1 + x_2 = -x_1 x_2

Sada transformišemo datu relaciju $x_1^3 + x_2^3 = x_1^2x_2^2$ kako bismo je izrazili preko zbira i proizvoda rešenja. Zbir kubova se može zapisati kao:

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)

Zamenjujemo ovu transformaciju u početnu relaciju, dok desnu stranu zapisujemo kao kvadrat proizvoda:

(x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = (x_1 x_2)^2

Uvodimo oznake radi lakšeg zapisivanja. Neka je zbir rešenja $S = x_1 + x_2$ i proizvod $P = x_1 x_2 .$ Naša relacija postaje:

S(S^2 - 3P) = P^2

Iz Koraka 4 znamo da je $S = -P .$ Zamenjujemo ovo u prethodnu jednačinu:

-P((-P)^2 - 3P) = P^2

Sređujemo jednačinu:

-P(P^2 - 3P) = P^2 \implies -P^3 + 3P^2 = P^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i faktorišemo izraz:

-P^3 + 2P^2 = 0 \implies -P^2(P - 2) = 0

Odatle dobijamo dva moguća slučaja za proizvod rešenja $P :$

P = 0 \quad \text{ili} \quad P = 2

Prvi slučaj: $P = 0 .$ Zamenjujemo izraz za proizvod rešenja i računamo $m :$

\frac{m+1}{m-1} = 0 \implies m + 1 = 0 \implies m = -1

Drugi slučaj: $P = 2 .$ Zamenjujemo izraz za proizvod rešenja:

\frac{m+1}{m-1} = 2 \implies m + 1 = 2(m - 1)

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po $m :$

m + 1 = 2m - 2 \implies m = 3

Obe dobijene vrednosti, $m = -1$ i $m = 3 ,$ zadovoljavaju početni uslov $m \neq 1 ,$ pa su obe rešenje zadatka.

m \in \{-1, 3\}

214