Vietove formule: veza p i q ako je 3x1 - 2x2 = 15

Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu $x^2 + px + q = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -p \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = q

Zajedno sa uslovom zadatka, formiramo sistem linearnih jednačina po $x_1$ i $x_2 :$

\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ 3x_1 - 2x_2 = 15 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo $x_2 :$

x_2 = -p - x_1

Zamenjujemo $x_2$ u drugu jednačinu:

3x_1 - 2(-p - x_1) = 15

Sređujemo jednačinu i računamo $x_1 :$

3x_1 + 2p + 2x_1 = 15 \implies 5x_1 = 15 - 2p \implies x_1 = \frac{15 - 2p}{5}

Sada računamo $x_2$ zamenom dobijenog $x_1$ u izraz za $x_2 :$

x_2 = -p - \frac{15 - 2p}{5} = \frac{-5p - 15 + 2p}{5} = \frac{-3p - 15}{5}

Koristimo drugu Vijetovu formulu $x_1 \cdot x_2 = q$ i zamenjujemo dobijene izraze:

\frac{15 - 2p}{5} \cdot \frac{-3p - 15}{5} = q

Množimo razlomke i sređujemo izraz:

\frac{(15 - 2p)(-15 - 3p)}{25} = q

Množimo celu jednačinu sa 25 i oslobađamo se zagrada:

-225 - 45p + 30p + 6p^2 = 25q

Konačno, grupišemo sve članove kako bismo dobili traženu relaciju između parametara $p$ i $q :$

6p^2 - 15p - 25q - 225 = 0 \Leftrightarrow 15p + 25q + 225 - 6p^2 = 0

211