1578.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini x2+px+q=0 x^2 + px + q = 0 odrediti relaciju između realnih parametara p p i q q ako njena rešenja zadovoljavaju jednakost 3x1−2x2=15. 3x_1 - 2x_2 = 15 .

REŠENJE ZADATKA

Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu x2+px+q=0 x^2 + px + q = 0 važi:

x1+x2=−pix1⋅x2=qx_1 + x_2 = -p \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = q

Zajedno sa uslovom zadatka, formiramo sistem linearnih jednačina po x1 x_1 i x2: x_2 :

{x1+x2=−p3x1−2x2=15\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ 3x_1 - 2x_2 = 15 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo x2: x_2 :

x2=−p−x1x_2 = -p - x_1

Zamenjujemo x2 x_2 u drugu jednačinu:

3x1−2(−p−x1)=153x_1 - 2(-p - x_1) = 15

Sređujemo jednačinu i računamo x1: x_1 :

3x1+2p+2x1=15  ⟹  5x1=15−2p  ⟹  x1=15−2p53x_1 + 2p + 2x_1 = 15 \implies 5x_1 = 15 - 2p \implies x_1 = \frac{15 - 2p}{5}

Sada računamo x2 x_2 zamenom dobijenog x1 x_1 u izraz za x2: x_2 :

x2=−p−15−2p5=−5p−15+2p5=−3p−155x_2 = -p - \frac{15 - 2p}{5} = \frac{-5p - 15 + 2p}{5} = \frac{-3p - 15}{5}

Koristimo drugu Vijetovu formulu x1⋅x2=q x_1 \cdot x_2 = q i zamenjujemo dobijene izraze:

15−2p5⋅−3p−155=q\frac{15 - 2p}{5} \cdot \frac{-3p - 15}{5} = q

Množimo razlomke i sređujemo izraz:

(15−2p)(−15−3p)25=q\frac{(15 - 2p)(-15 - 3p)}{25} = q

Množimo celu jednačinu sa 25 i oslobađamo se zagrada:

−225−45p+30p+6p2=25q-225 - 45p + 30p + 6p^2 = 25q

Konačno, grupišemo sve članove kako bismo dobili traženu relaciju između parametara p p i q: q :

6p2−15p−25q−225=0⇔15p+25q+225−6p2=06p^2 - 15p - 25q - 225 = 0 \Leftrightarrow 15p + 25q + 225 - 6p^2 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti