1573. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine:

a = 3, \quad b = -2(m+1), \quad c = m-1

Na osnovu Vijetovih formula, zbir i proizvod rešenja su:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(m+1)}{3}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m-1}{3}

Sada posmatramo dati uslov zadatka. Grupišemo odgovarajuće članove i izvlačimo zajedničke činioce:

3(x_1^3 + x_2^3) + 9x_1x_2(x_1 + x_2) = 192

Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo je pojednostavili:

(x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 64

Prepoznajemo da leva strana jednačine predstavlja algebarski identitet za kub zbira, odnosno $(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 :$

(x_1 + x_2)^3 = 64

Rešavamo dobijenu jednačinu po $x_1 + x_2 :$

x_1 + x_2 = \sqrt[3]{64} \implies x_1 + x_2 = 4

Zamenjujemo izraz za zbir rešenja dobijen iz Vijetovih formula u ovu jednačinu:

\frac{2(m+1)}{3} = 4

Rešavamo jednačinu po $m :$

2(m+1) = 12 \implies m+1 = 6 \implies m = 5

Proveravamo da li za $m = 5$ jednačina ima realna rešenja. Zamenjujemo $m$ u koeficijente i računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 144 - 48 = 96

Kako je $D > 0 ,$ rešenja su realna, pa je dobijeni broj $m$ konačno rešenje.

m = 5

210