Parametar p za međusobno suprotna rešenja

Da bi rešenja kvadratne jednačine $x_1$ i $x_2$ bila međusobno suprotna, mora važiti uslov $x_1 = -x_2 ,$ što je ekvivalentno uslovu da je njihov zbir jednak nuli:

x_1 + x_2 = 0

Na osnovu Vijetovih formula, znamo da je zbir rešenja kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ dat formulom $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} .$ U našem slučaju koeficijenti su:

a = 1, \quad b = 3(p^2 - 1), \quad c = -p - 3

Postavljamo uslov da je zbir rešenja jednak nuli:

-\frac{3(p^2 - 1)}{1} = 0

Rešavamo dobijenu jednačinu po promenljivoj $p .$ Prvo delimo celu jednačinu sa -3:

p^2 - 1 = 0

Rastavljamo razliku kvadrata ili direktno korenujemo:

p^2 = 1 \implies p = \pm 1

Da bi rešenja bila realna i suprotna, diskriminanta jednačine $D$ mora biti veća od nule (ili jednaka nuli ako su rešenja nule, ali ovde tražimo suprotna rešenja). Proveravamo uslov $D > 0$ za dobijene vrednosti $p :$

D = b^2 - 4ac = [3(p^2 - 1)]^2 - 4(1)(-p - 3)

Za $p = 1 :$

D = [3(1^2 - 1)]^2 - 4(1)(-1 - 3) = 0 - 4(-4) = 16 > 0

Za $p = -1 :$

D = [3((-1)^2 - 1)]^2 - 4(1)(-(-1) - 3) = 0 - 4(-2) = 8 > 0

Pošto su u oba slučaja rešenja realna, tražene vrednosti parametra $p$ su:

p \in \{-1, 1\}

Započni učenje

Privatni časovi

173.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci