Zbir četvrtih stepena rešenja jednačine x na 2 − x − 2

Iz date kvadratne jednačine $x^2 - x - 2 = 0$ identifikujemo koeficijente:

a = 1, \ b = -1, \ c = -2

Koristimo Vijetove formule da odredimo zbir i proizvod rešenja:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2

Da bismo došli do četvrtog stepena, prvo računamo zbir kvadrata rešenja koristeći identitet $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 :$

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u izraz za zbir kvadrata:

x_1^2 + x_2^2 = (1)^2 - 2(-2) = 1 + 4 = 5

Sada ponovo primenjujemo sličan identitet na izraz $(x_1^2 + x_2^2)^2$ kako bismo dobili četvrte stepene:

x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2

Zamenjujemo prethodno izračunati zbir kvadrata i poznati proizvod rešenja u finalni izraz:

x_1^4 + x_2^4 = (5)^2 - 2(-2)^2

Računamo konačnu vrednost izraza:

x_1^4 + x_2^4 = 25 - 2(4) = 25 - 8 = 17

172.v