1465.

169.z

TEKST ZADATKA

Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rešenja kompleksni brojevi:

x1=2+i3,x2=2−i3x_1 = 2 + i\sqrt{3}, \quad x_2 = 2 - i\sqrt{3}
REŠENJE ZADATKA

Za sastavljanje kvadratne jednačine koristimo Vietova pravila, prema kojima svaka kvadratna jednačina u obliku x2−Sx+P=0 x^2 - Sx + P = 0 ima rešenja za koja važi:

S=x1+x2,P=x1⋅x2S = x_1 + x_2, \quad P = x_1 \cdot x_2

Prvo računamo zbir rešenja S: S :

S=(2+i3)+(2−i3)=2+2=4S = (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 2 + 2 = 4

Zatim računamo proizvod rešenja P, P , koristeći formulu za razliku kvadrata (a+b)(a−b)=a2−b2: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :

P=(2+i3)(2−i3)=22−(i3)2P = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2

Sređujemo izraz za proizvod, uzimajući u obzir da je i2=−1: i^2 = -1 :

P=4−(i2⋅3)=4−(−1⋅3)=4+3=7P = 4 - (i^2 \cdot 3) = 4 - (-1 \cdot 3) = 4 + 3 = 7

Zamenjujemo dobijene vrednosti S=4 S = 4 i P=7 P = 7 u opšti oblik kvadratne jednačine:

x2−4x+7=0x^2 - 4x + 7 = 0