1582. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Na osnovu Vijetovih formula za polaznu jednačinu $y^2 - py + q = 0$ važi:

\begin{cases} y_1 + y_2 = p \\ y_1 y_2 = q \end{cases}

Iz datih uslova $y_1 = 2x_1$ i $y_2 = 2x_2$ izražavamo rešenja nove jednačine:

x_1 = \frac{y_1}{2}, \quad x_2 = \frac{y_2}{2}

Računamo zbir rešenja nove kvadratne jednačine:

x_1 + x_2 = \frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2} = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{p}{2}

Računamo proizvod rešenja nove kvadratne jednačine:

x_1 \cdot x_2 = \frac{y_1}{2} \cdot \frac{y_2}{2} = \frac{y_1 \cdot y_2}{4} = \frac{q}{4}

Nova kvadratna jednačina ima oblik $x^2 - Sx + P = 0 ,$ gde su $S$ zbir, a $P$ proizvod njenih rešenja. Zamenjujemo dobijene vrednosti:

x^2 - \frac{p}{2}x + \frac{q}{4} = 0

Množenjem jednačine sa $4$ dobijamo njen konačan oblik bez razlomaka:

4x^2 - 2px + q = 0

Napomena: Zadatak smo mogli rešiti i znatno brže, direktnom smenom. Kako za svako rešenje važi $y = 2x ,$ zamenom u početnu jednačinu odmah dobijamo isti rezultat:

(2x)^2 - p(2x) + q = 0 \implies 4x^2 - 2px + q = 0

216