1582.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Data je jednačina y2−py+q=0. y^2 - py + q = 0 . Sastaviti kvadratnu jednačinu po x x ako je y1=2x1, y_1 = 2x_1 , y2=2x2. y_2 = 2x_2 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih formula za polaznu jednačinu y2−py+q=0 y^2 - py + q = 0 važi:

{y1+y2=py1y2=q\begin{cases} y_1 + y_2 = p \\ y_1 y_2 = q \end{cases}

Iz datih uslova y1=2x1 y_1 = 2x_1 i y2=2x2 y_2 = 2x_2 izražavamo rešenja nove jednačine:

x1=y12,x2=y22x_1 = \frac{y_1}{2}, \quad x_2 = \frac{y_2}{2}

Računamo zbir rešenja nove kvadratne jednačine:

x1+x2=y12+y22=y1+y22=p2x_1 + x_2 = \frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2} = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{p}{2}

Računamo proizvod rešenja nove kvadratne jednačine:

x1⋅x2=y12⋅y22=y1⋅y24=q4x_1 \cdot x_2 = \frac{y_1}{2} \cdot \frac{y_2}{2} = \frac{y_1 \cdot y_2}{4} = \frac{q}{4}

Nova kvadratna jednačina ima oblik x2−Sx+P=0, x^2 - Sx + P = 0 , gde su S S zbir, a P P proizvod njenih rešenja. Zamenjujemo dobijene vrednosti:

x2−p2x+q4=0x^2 - \frac{p}{2}x + \frac{q}{4} = 0

Množenjem jednačine sa 4 4 dobijamo njen konačan oblik bez razlomaka:

4x2−2px+q=04x^2 - 2px + q = 0

Napomena: Zadatak smo mogli rešiti i znatno brže, direktnom smenom. Kako za svako rešenje važi y=2x, y = 2x , zamenom u početnu jednačinu odmah dobijamo isti rezultat:

(2x)2−p(2x)+q=0  ⟹  4x2−2px+q=0(2x)^2 - p(2x) + q = 0 \implies 4x^2 - 2px + q = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti