1583.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Za datu kvadratnu jednačinu odrediti relaciju između njenih rešenja u kojoj ne učestvuje parametar m: m :

(3m+2)x2+(4m+5)x+7m=0(3m + 2)x^2 + (4m + 5)x + 7m = 0
REŠENJE ZADATKA

Koeficijenti date kvadratne jednačine su:

a=3m+2,b=4m+5,c=7ma = 3m + 2, \quad b = 4m + 5, \quad c = 7m

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine su:

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo ih na našu jednačinu i uvodimo oznake S=x1+x2 S = x_1 + x_2 i P=x1x2: P = x_1 x_2 :

S=−4m+53m+2,P=7m3m+2S = -\frac{4m + 5}{3m + 2}, \quad P = \frac{7m}{3m + 2}

Da bismo eliminisali parametar m, m , izrazižemo ga iz obe jednačine. Počinjemo od jednačine za proizvod:

P(3m+2)=7m  ⟹  3mP+2P=7mP(3m + 2) = 7m \implies 3mP + 2P = 7m

Grupišemo članove sa m: m :

m(7−3P)=2P  ⟹  m=2P7−3Pm(7 - 3P) = 2P \implies m = \frac{2P}{7 - 3P}

Sada sređujemo jednačinu za zbir rešenja:

S(3m+2)=−(4m+5)  ⟹  3mS+2S=−4m−5S(3m + 2) = -(4m + 5) \implies 3mS + 2S = -4m - 5

Grupišemo članove sa m: m :

m(3S+4)=−2S−5  ⟹  m=−2S−53S+4m(3S + 4) = -2S - 5 \implies m = \frac{-2S - 5}{3S + 4}

Izjednačavamo dobijena dva izraza za m: m :

2P7−3P=−2S−53S+4\frac{2P}{7 - 3P} = \frac{-2S - 5}{3S + 4}

Množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka:

2P(3S+4)=(−2S−5)(7−3P)2P(3S + 4) = (-2S - 5)(7 - 3P)

Množimo zagrade na desnoj strani:

6SP+8P=−14S+6SP−35+15P6SP + 8P = -14S + 6SP - 35 + 15P

Član 6SP 6SP se nalazi sa obe strane jednakosti pa se potire. Grupišemo preostale članove na levu stranu:

8P−15P+14S+35=0  ⟹  −7P+14S+35=08P - 15P + 14S + 35 = 0 \implies -7P + 14S + 35 = 0

Delimo celu jednačinu sa −7: -7 :

P−2S−5=0P - 2S - 5 = 0

Vraćamo nazad polazne oznake S=x1+x2 S = x_1 + x_2 i P=x1x2. P = x_1 x_2 . Tražena relacija je:

x1x2−2(x1+x2)−5=0x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) - 5 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti