Vietove formule: veza rešenja bez parametra m, 7m

Koeficijenti date kvadratne jednačine su:

a = 3m + 2, \quad b = 4m + 5, \quad c = 7m

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine su:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Primenjujemo ih na našu jednačinu i uvodimo oznake $S = x_1 + x_2$ i $P = x_1 x_2 :$

S = -\frac{4m + 5}{3m + 2}, \quad P = \frac{7m}{3m + 2}

Da bismo eliminisali parametar $m ,$ izrazižemo ga iz obe jednačine. Počinjemo od jednačine za proizvod:

P(3m + 2) = 7m \implies 3mP + 2P = 7m

Grupišemo članove sa $m :$

m(7 - 3P) = 2P \implies m = \frac{2P}{7 - 3P}

Sada sređujemo jednačinu za zbir rešenja:

S(3m + 2) = -(4m + 5) \implies 3mS + 2S = -4m - 5

Grupišemo članove sa $m :$

m(3S + 4) = -2S - 5 \implies m = \frac{-2S - 5}{3S + 4}

Izjednačavamo dobijena dva izraza za $m :$

\frac{2P}{7 - 3P} = \frac{-2S - 5}{3S + 4}

Množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka:

2P(3S + 4) = (-2S - 5)(7 - 3P)

Množimo zagrade na desnoj strani:

6SP + 8P = -14S + 6SP - 35 + 15P

Član $6SP$ se nalazi sa obe strane jednakosti pa se potire. Grupišemo preostale članove na levu stranu:

8P - 15P + 14S + 35 = 0 \implies -7P + 14S + 35 = 0

Delimo celu jednačinu sa $-7 :$

P - 2S - 5 = 0

Vraćamo nazad polazne oznake $S = x_1 + x_2$ i $P = x_1 x_2 .$ Tražena relacija je:

x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) - 5 = 0

217.б