1262. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Primetimo da je izraz $(1 - x)$ isto što i $-(x - 1) .$ Transformišemo jednačinu kako bismo uočili zajednički činilac.

(x - 1)(3x + 5) - (-(x - 1))(2x + 5) = 0

Sređujemo znake ispred zagrada. Dva minusa daju plus.

(x - 1)(3x + 5) + (x - 1)(2x + 5) = 0

Izvlačimo zajednički činilac $(x - 1)$ ispred zagrade.

(x - 1)[(3x + 5) + (2x + 5)] = 0

Sređujemo izraz unutar uglaste zagrade sabiranjem sličnih monoma.

(x - 1)(5x + 10) = 0

Možemo dodatno izvući broj 5 iz druge zagrade radi lakšeg računanja.

5(x - 1)(x + 2) = 0

Jednačina je ekvivalentna disjunkciji rešenja gde je bar jedan od faktora jednak nuli.

x - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x + 2 = 0

Rešavamo dobijene linearne jednačine.

x_1 = 1, \quad x_2 = -2

Proverićemo rešenja svođenjem polazne jednačine na opšti oblik kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 .$

5x^2 + 5x - 10 = 0

Identifikujemo koeficijente i računamo diskriminantu.

a = 5, b = 5, c = -10 \implies D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 25 + 200 = 225

Primenjujemo glavnu formulu za rešavanje kvadratne jednačine.

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 5} = \frac{-5 \pm 15}{10}

Konačna rešenja su ista kao ona dobijena faktorizacijom.

x_1 = \frac{10}{10} = 1, \quad x_2 = \frac{-20}{10} = -2

1262.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce