6617. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Neka je $a$ ivica tetraedra, $ABC$ osnova, $D$ vrh i $DO$ visina. Kao u zadatku 161, iz jednakih bočnih ivica i pravouglih trouglova $DOA ,$ $DOB ,$ $DOC$ sa zajedničkom katetom $DO$ sledi $OA=OB=OC .$ Dakle, $O$ je centar kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla $ABC ,$ a u jednakostraničnom trouglu je to i težište.

Ortogonalna projekcija ivice $DA$ na osnovu je duž $OA ,$ pa je traženi ugao $\alpha=\measuredangle DAO .$ Težište deli težišnu duž (koja je ovde i visina $h=\frac{a\sqrt3}{2}$ ) u odnosu $2:1$ od temena:

OA=\frac23h=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}

U pravouglom trouglu $DOA$ (prav ugao kod $O$ ) kosinus ugla $\alpha$ je odnos nalegle katete i hipotenuze:

\cos\alpha=\frac{OA}{DA}=\frac{\frac{a\sqrt3}{3}}{a}=\frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}5774

Ugao čiji je kosinus $\frac{\sqrt3}{3}$ nije neki od poznatih uglova ( $\cos45^\circ\approx0{,}7071 ,$ $\cos60^\circ=0{,}5$ ), pa je $\alpha$ između $45^\circ$ i $60^\circ$ ; kalkulator daje:

\alpha=\arccos\frac{\sqrt3}{3}\approx54{,}74^\circ

Provera za $a=1 :$ $OA\approx0{,}5774 ,$ visina $DO=\sqrt{1-\frac13}\approx0{,}8165 ,$ a $\sqrt{0{,}5774^2+0{,}8165^2}\approx1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Nagibni ugao bočne ivice pravilnog tetraedra prema osnovi je $\alpha=\arccos\frac{\sqrt3}{3}\approx54{,}74^\circ .$

Započni učenje

Privatni časovi

166

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci