6602. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka su $\alpha\ni A$ i $\beta\ni B$ strane, $s$ ivica i $\sigma$ simetrijska ravan. Diedar je prav, pa $\sigma$ zaklapa sa svakom stranom ugao od $45^\circ .$ Tačke $A_1, B_1$ su normalne projekcije tačaka $A, B$ na $\sigma .$

AA_2=a,\quad BB_2=2a,\quad A_2B_2=a

Kao u zadatku 140: ravan kroz $A$ upravna na $s$ sadrži $AA_2$ i normalu $AA_1 ,$ i seče $\sigma$ po polupravoj iz $A_2$ koja zaklapa ugao od $45^\circ$ sa $A_2A .$ U pravouglom trouglu $AA_1A_2 :$

A_2A_1=AA_2\cos45^\circ=\frac{a\sqrt2}{2}

Na isti način za tačku $B :$

B_2B_1=BB_2\cos45^\circ=\frac{2a\sqrt2}{2}=a\sqrt2

U ravni $\sigma$ su $A_2A_1$ i $B_2B_1$ normalne na $s$ i leže sa iste strane ivice (u delu ravni $\sigma$ unutar diedra). Zato je $A_2A_1B_1B_2$ pravougli trapez sa osnovicama $A_2A_1 ,$ $B_2B_1$ i visinom $A_2B_2=a :$

A_1B_1^2=A_2B_2^2+\left(B_2B_1-A_2A_1\right)^2=a^2+\left(a\sqrt2-\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=a^2+\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{2}

Korenujemo:

A_1B_1=a\sqrt{\frac32}=\frac{a\sqrt6}{2}

Provera u koordinatama za $a=2 :$ ivica je $z$ -osa, strane su $y=0,\ x\ge0$ i $x=0,\ y\ge0 ,$ a $\sigma$ je ravan $x=y .$ Za $A=(2;0;0)$ i $B=(0;4;2)$ je $AB^2=24 ,$ a komponenta vektora $\overrightarrow{AB}$ normalna na $\sigma$ je $\frac{-2-4}{\sqrt2} ,$ pa je $A_1B_1^2=24-18=6 ,$ tj. $A_1B_1=\sqrt6 ,$ a formula daje $\frac{2\sqrt6}{2}=\sqrt6 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Normalna projekcija duži $AB$ u simetrijskoj ravni diedra je duga $\frac{a\sqrt6}{2}\approx1{,}22a .$

Započni učenje

Privatni časovi

145

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci