6597. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Neka su $\pi_1\ni A$ i $\pi_2$ strane diedra, $s$ ivica i $\sigma$ simetrijska ravan (ravan kroz ivicu koja polovi diedar). Kroz $A$ postavimo ravan $\tau\perp s$ ; neka je $O=\tau\cap s ,$ a $OX\subset\pi_1 ,$ $OZ\subset\sigma ,$ $OY\subset\pi_2$ poluprave preseka. Po definiciji nagibnog ugla:

\measuredangle XOY=60^\circ,\qquad \measuredangle XOZ=\measuredangle ZOY=30^\circ

Teorema o normalnim ravnima: ako je prava $n$ normalna na ravni $\pi ,$ tada je svaka ravan $\alpha$ koja sadrži pravu $n$ normalna na ravni $\pi .$ Ravni $\sigma$ i $\pi_2$ sadrže $s\perp\tau ,$ pa su upravne na $\tau .$ Zato po zadatku 127 normala iz $A$ na $\sigma$ leži u $\tau :$ podnožje $B$ je na $OZ$ i $AB\perp OZ .$ Isto tako, projekcije $A_1$ i $B_1$ tačaka $A$ i $B$ na $\pi_2$ leže na $OY ,$ pa je projekcija duži $AB$ duž $A_1B_1$ na polupravoj $OY .$

U pravouglom trouglu $AOB$ (prav ugao kod $B$ ) je $\measuredangle AOB=30^\circ$ i $AB=a :$

OA=\frac{AB}{\sin30^\circ}=2a,\qquad OB=OA\cos30^\circ=2a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=a\sqrt3

Projekcije na polupravu $OY :$ za tačku $A$ je $\measuredangle AOY=60^\circ ,$ a za tačku $B$ je $\measuredangle BOY=30^\circ :$

OA_1=OA\cos60^\circ=a,\qquad OB_1=OB\cos30^\circ=a\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3a}{2}

Obe tačke su na istoj polupravoj $OY ,$ pa je dužina projekcije razlika:

A_1B_1=OB_1-OA_1=\frac{3a}{2}-a=\frac a2

Provera drugim putem: $AB\perp OZ ,$ a $OZ$ zaklapa sa $OY$ ugao od $30^\circ ,$ pa $AB$ zaklapa sa $OY$ ugao od $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ i njena projekcija je $a\cos60^\circ=\frac a2 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dužina normalne projekcije duži $AB$ na drugoj strani diedra je $\frac a2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

140

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci