6594. Međusobni odnosi tačaka pravih i ravni

Da ne bismo mešali oznaku ugla $\alpha$ sa stranama, strane diedra označimo sa $\pi_1\ni A$ i $\pi_2\ni B ,$ a ivicu sa $s .$ U ravni $\pi_1$ povucimo iz $B_1$ duž $B_1A'$ paralelnu sa $A_1A ,$ iste dužine i sa iste strane ivice. Četvorougao $A_1AA'B_1$ ima dve paralelne jednake stranice i prav ugao kod $A_1 ,$ pa je pravougaonik:

B_1A'=a,\quad AA'=A_1B_1=c,\quad AA'\parallel s,\quad B_1A'\perp s

Ivica $s$ je normalna na $B_1A'$ i na $B_1B$ u tački $B_1 ,$ pa je po Košijevoj teoremi $s$ normalna na ravan $A'B_1B .$ Nagibni ugao diedra je ugao po kome neka ravan upravna na ivici diedra seče taj diedar. Zato je $\measuredangle A'B_1B=\alpha ,$ i po kosinusnoj teoremi u trouglu $A'B_1B :$

A'B^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha

Prava $AA'$ je paralelna sa $s ,$ a $s$ je normalna na ravan $A'B_1B .$ Po zadatku 119 i $AA'$ je normalna na tu ravan, pa je $AA'\perp A'B .$ U pravouglom trouglu $AA'B :$

AB^2=AA'^2+A'B^2=c^2+a^2+b^2-2ab\cos\alpha

Korenovanjem dobijamo dužinu duži:

AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}

Provera za $a=3 ,$ $b=4 ,$ $c=5 ,$ $\alpha=60^\circ :$ $AB^2=9+16+25-24\cdot0{,}5=38 .$ Ako diedar postavimo u koordinate (ivica je $x$ -osa, $A=(0;3;0) ,$ $B=(5;4\cos60^\circ;4\sin60^\circ)=(5;2;2\sqrt3)$ ), dobijamo $AB^2=25+1+12=38 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dužina duži je $AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha} .$

Započni učenje

Privatni časovi

137

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci