129

Neka je $ABC$ dati trougao sa pravim uglom kod temena $C$ i katetama $CA=CB=a .$ Kateta $CB$ leži u ravni $\pi ,$ a kateta $CA$ zaklapa sa $\pi$ ugao od $45^\circ .$ Po Pitagorinoj teoremi hipotenuza je:

Ugao prave $p$ prema ravni $\pi$ je oštar ugao koji prava $p$ obrazuje sa svojom ortogonalnom projekcijom $p'$ u ravni $\pi .$ Neka je $A'$ podnožje normale iz $A$ na ravan $\pi .$ Tačka $C$ leži u $\pi ,$ pa je projekcija prave $CA$ prava $CA'$ i $\measuredangle ACA'=45^\circ .$ Trougao $AA'C$ je pravougli (prav ugao kod $A' ,$ jer je $AA'\perp\pi$), pa je udaljenost tačke $A$ od ravni:

Projekcija hipotenuze $AB$ na ravan $\pi$ je $A'B$ (tačka $B$ je u ravni). Traženi ugao je $\varphi=\measuredangle ABA' ,$ a u pravouglom trouglu $AA'B$ njegov sinus je količnik naspramne katete i hipotenuze:

Oštar ugao čiji je sinus $\frac12$ je $30^\circ .$ Provera za $a=1 :$ $AA'\approx0{,}7071 ,$ $AB\approx1{,}4142 ,$ a njihov količnik je $0{,}5 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.