6610. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Bočne strane su kvadrati, pa je bočna ivica jednaka osnovnoj: $H=a .$ Kako su bočne strane kvadrati, svaka bočna ivica je normalna na obe osnovne ivice koje polaze iz njenog temena. Košijeva teorema: ako prava $n$ prodire ravan $\pi$ u tački $P$ i upravna je na dvema raznim pravim te ravni kroz $P ,$ tada je $n\perp\pi .$ Zato je svaka bočna ivica normalna na ravan osnove, pa je prizma prava. Neka je donja osnova $ABCDEF ,$ a gornja $A'B'C'D'E'F' .$

Dijagonale osnove. Pravilni šestougao se dijagonalama kroz centar $O$ deli na šest jednakostraničnih trouglova stranice $a .$ Zato je duga dijagonala $AD=AO+OD=2a .$ Kratku dijagonalu $AC$ računamo kosinusnom teoremom u trouglu $ABC$ sa uglom $120^\circ$ kod $B :$

AD=2a,\qquad AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ=3a^2 \implies AC=a\sqrt3

Dijagonale prizme. Iz temena $A'$ gornje osnove dijagonale idu do temena $C ,$ $D$ i $E$ donje osnove (prema $B$ i $F$ vode dijagonale bočnih strana). Duž $A'C$ je hipotenuza pravouglog trougla $ACA'$ sa katetama $AC$ i $AA'=a$ (bočna ivica je normalna na osnovu). Isto za $A'D .$ Zbog simetrije šestougla je $A'E=A'C .$

A'C=\sqrt{3a^2+a^2}=2a,\qquad A'D=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5

Dijagonalni preseci. Presek kroz bočne ivice $AA'$ i $CC'$ je pravougaonik sa stranicama $AC=a\sqrt3$ i $H=a$ ; presek kroz $AA'$ i $DD'$ je pravougaonik sa stranicama $AD=2a$ i $H=a .$ To su pravougaonici jer su bočne ivice paralelne, jednake i normalne na osnovu.

P_1=a\sqrt3\cdot a=a^2\sqrt3,\qquad P_2=2a\cdot a=2a^2

Provera za $a=1 :$ $A'C=\sqrt{3+1}=2 ,$ $A'D=\sqrt{4+1}\approx2{,}236 ,$ $P_1=\sqrt3\approx1{,}732 ,$ $P_2=2 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Prizma ima dijagonale dve dužine, $2a$ i $a\sqrt5 ,$ a dijagonalni preseci imaju površine $a^2\sqrt3$ i $2a^2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

160

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci