6606. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Neka je osnova paralelogram $ABCD$ sa $AB=a=23\text{ cm} ,$ $AD=b=11\text{ cm} ,$ a dijagonale osnove $d_1=BD$ i $d_2=AC .$ Neka je $\alpha=\measuredangle DAB$ ; susedni ugao paralelograma je $\measuredangle ABC=180^\circ-\alpha ,$ a $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha .$ Primenimo kosinusnu teoremu na trouglove $ABD$ i $ABC :$

d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha,\qquad d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha

Kada saberemo ove dve jednakosti, članovi sa $\cos\alpha$ se potiru, pa ugao nije potrebno znati:

d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)=2(23^2+11^2)=2(529+121)=1300

Iz odnosa $d_1:d_2=2:3$ pišemo $d_1=2k ,$ $d_2=3k$ za neki broj $k>0$ i uvrstimo u prethodnu jednakost:

4k^2+9k^2=1300 \implies 13k^2=1300 \implies k^2=100 \implies k=10

Dijagonale osnove su zato:

d_1=2\cdot10=20\text{ cm},\qquad d_2=3\cdot10=30\text{ cm}

Dijagonalni presek koji sadrži bočne ivice $AA'$ i $CC'$ je četvorougao $ACC'A' .$ Bočne ivice su paralelne i jednake, pa je to paralelogram. Kako je paralelopiped prav, ivica $AA'$ je normalna na ravan osnove, pa je normalna i na pravu $AC$ te ravni. Zato je $ACC'A'$ pravougaonik sa stranicama $d_2$ i $H=10\text{ cm} .$ Isto važi i za presek $BDD'B' .$

P_1=d_1\cdot H=20\cdot10=200\text{ cm}^2,\qquad P_2=d_2\cdot H=30\cdot10=300\text{ cm}^2

Provera: $20^2+30^2=400+900=1300=2(23^2+11^2)$ i $20:30=2:3 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom. Još proverimo da takav paralelogram postoji: iz $d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$ dobijamo $\cos\alpha=\frac{650-400}{506}\approx0{,}494 ,$ što je broj između $-1$ i $1 .$

Površine dijagonalnih preseka paralelopipeda su $200\text{ cm}^2$ i $300\text{ cm}^2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

156

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci