6612. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Paralelopiped ima četiri dijagonale: $AC' ,$ $CA' ,$ $BD'$ i $DB' .$

Neka je osnova paralelogram $ABCD$ sa $AB=a ,$ $AD=b$ i $\measuredangle DAB=60^\circ$ ; tada je $\measuredangle ABC=120^\circ .$ Dijagonale osnove računamo kosinusnom teoremom u trouglovima $ABD$ i $ABC ,$ uz $\cos60^\circ=\frac12$ i $\cos120^\circ=-\frac12 :$

d_1^2=BD^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12=a^2-ab+b^2,\qquad d_2^2=AC^2=a^2+b^2+ab

Paralelopiped je prav, pa je bočna ivica $H$ normalna na osnovu i na svaku dijagonalu osnove. Npr. u trouglu $BDD'$ prav ugao je kod $D .$ Dijagonale $BD'$ i $DB'$ su hipotenuze trouglova sa katetama $d_1$ i $H ,$ a $AC'$ i $CA'$ trouglova sa katetama $d_2$ i $H .$ Zato postoje dve dužine dijagonala:

D_1^2=d_1^2+H^2,\qquad D_2^2=d_2^2+H^2

Aritmetička sredina ivica $a$ i $b$ je $\frac{a+b}{2} ,$ pa je $H=\frac{a+b}{2}$ i $H^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4} .$ Uvrstimo i svedemo na zajednički imenilac $4 :$

D_1^2=a^2-ab+b^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{5a^2-2ab+5b^2}{4},\qquad D_2^2=a^2+ab+b^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{5a^2+6ab+5b^2}{4}

Korenujemo (dužine su pozitivne):

D_1=\frac12\sqrt{5a^2-2ab+5b^2},\qquad D_2=\frac12\sqrt{5a^2+6ab+5b^2}

Provera za $a=b=2 :$ osnova je romb sa uglom $60^\circ ,$ pa je $d_1=2$ (trougao $ABD$ je jednakostraničan), $H=2$ i $D_1=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\approx2{,}828 .$ Formula daje $\frac12\sqrt{20-8+20}=\frac12\sqrt{32}=2\sqrt2 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dijagonale paralelopipeda su $\frac12\sqrt{5a^2-2ab+5b^2}$ (dve kraće) i $\frac12\sqrt{5a^2+6ab+5b^2}$ (dve duže).

Započni učenje

Privatni časovi

162.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci