6613. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Paralelopiped ima četiri dijagonale: $AC' ,$ $CA' ,$ $BD'$ i $DB' .$

Neka je osnova paralelogram $ABCD$ sa $AB=a ,$ $AD=b$ i $\measuredangle DAB=60^\circ$ ; tada je $\measuredangle ABC=120^\circ .$ Dijagonale osnove računamo kosinusnom teoremom u trouglovima $ABD$ i $ABC ,$ uz $\cos60^\circ=\frac12$ i $\cos120^\circ=-\frac12 :$

d_1^2=BD^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12=a^2-ab+b^2,\qquad d_2^2=AC^2=a^2+b^2+ab

Paralelopiped je prav, pa je bočna ivica $H$ normalna na osnovu i na svaku dijagonalu osnove. Npr. u trouglu $BDD'$ prav ugao je kod $D .$ Dijagonale $BD'$ i $DB'$ su hipotenuze trouglova sa katetama $d_1$ i $H ,$ a $AC'$ i $CA'$ trouglova sa katetama $d_2$ i $H .$ Zato postoje dve dužine dijagonala:

D_1^2=d_1^2+H^2,\qquad D_2^2=d_2^2+H^2

Geometrijska sredina ivica $a$ i $b$ je $\sqrt{ab} ,$ pa je $H=\sqrt{ab}$ i $H^2=ab .$ Uvrstimo:

D_1^2=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2,\qquad D_2^2=a^2+ab+b^2+ab=(a+b)^2

Korenujemo (dužine su pozitivne, a $a+b>0$ ):

D_1=\sqrt{a^2+b^2},\qquad D_2=a+b

Provera za $a=4 ,$ $b=1 :$ $H=\sqrt4=2 ,$ $d_1^2=16-4+1=13 ,$ $D_1=\sqrt{13+4}=\sqrt{17}$ i $d_2^2=21 ,$ $D_2=\sqrt{21+4}=5 .$ Formule daju $\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ i $4+1=5 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dijagonale paralelopipeda su $\sqrt{a^2+b^2}$ (dve kraće) i $a+b$ (dve duže).

Započni učenje

Privatni časovi

162.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci