6605. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Označimo ivice kvadra sa $x ,$ $y$ i $z .$ Svaka strana kvadra je pravougaonik čije su stranice dve od tih ivica, a dijagonala pravougaonika je hipotenuza pravouglog trougla kome su te stranice katete. Neka su date dijagonale strana sa ivicama $x,y ,$ zatim $y,z$ i $x,z .$ Po Pitagorinoj teoremi:

\begin{cases} x^2+y^2=a^2 \\ y^2+z^2=b^2 \\ x^2+z^2=c^2 \end{cases}

Saberemo sve tri jednačine. Svaki od kvadrata $x^2,y^2,z^2$ pojavljuje se tačno dva puta, pa posle deljenja sa $2$ dobijamo:

2(x^2+y^2+z^2)=a^2+b^2+c^2 \implies x^2+y^2+z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}

Od ovog zbira oduzmemo redom drugu, treću i prvu jednačinu sistema. Tako ostaje po jedan kvadrat:

x^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-b^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2},\qquad y^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-c^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2},\qquad z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-a^2=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2}

Ivice su pozitivni brojevi, pa uzimamo pozitivne kvadratne korene. Zadatak ima rešenje samo kada su sva tri izraza pod korenom pozitivna, tj. kada je zbir kvadrata svake dve od datih dijagonala veći od kvadrata treće (na primer, $a=b=1 ,$ $c=2$ ne mogu biti dijagonale strana kvadra, jer bi bilo $y^2=\frac{1+1-4}{2}<0$ ).

x=\sqrt{\frac{a^2-b^2+c^2}{2}},\qquad y=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}},\qquad z=\sqrt{\frac{-a^2+b^2+c^2}{2}}

Provera na kvadru sa ivicama $3 ,$ $4$ i $12 :$ dijagonale strana su $a^2=9+16=25 ,$ $b^2=16+144=160$ i $c^2=9+144=153 .$ Formule daju $x^2=\frac{25-160+153}{2}=9 ,$ $y^2=\frac{25+160-153}{2}=16$ i $z^2=\frac{-25+160+153}{2}=144 ,$ tj. $x=3 ,$ $y=4 ,$ $z=12 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Ivice kvadra su $\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}} ,$ $\sqrt{\frac{a^2-b^2+c^2}{2}}$ i $\sqrt{\frac{-a^2+b^2+c^2}{2}} .$

Započni učenje

Privatni časovi

155

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci