6604. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Temena. Svaka od dve osnove je $n$ -tougao, pa ima $n$ temena. Bočne strane nemaju novih temena, jer svako njihovo teme pripada nekoj osnovi:

T=n+n=2n

Ivice. Svaka osnova ima $n$ stranica (osnovnih ivica), a iz svakog od $n$ temena donje osnove polazi po jedna bočna ivica:

I=n+n+n=3n

Strane. Prizma ima dve osnove i po jednu bočnu stranu nad svakom od $n$ stranica osnove:

St=n+2

Dijagonale. Dva temena iste osnove uvek pripadaju istoj strani (toj osnovi), pa dijagonala prizme mora spajati teme gornje osnove sa temenom donje osnove. Uočimo teme $A_1'$ gornje osnove. Od $n$ temena donje osnove, sa $A_1'$ na istoj bočnoj strani su teme $A_1$ (zajednička bočna ivica) i njegova dva susedna temena $A_2$ i $A_n .$ Ostaje $n-3$ temena sa kojima $A_1'$ gradi dijagonalu.

Isto važi za svako od $n$ temena gornje osnove. Svaka dijagonala ima tačno jedan kraj u gornjoj osnovi, pa nijednu nismo brojali dva puta:

D=n(n-3)

Provera na primerima: za $n=3$ (trostrana prizma) dobijamo $D=3\cdot0=0 ,$ i zaista, svaka dva temena trostrane prizme leže na nekoj strani. Za $n=4$ (npr. kvadar) dobijamo $T=8 ,$ $I=12 ,$ $St=6$ i $D=4\cdot1=4 ,$ što se slaže sa poznatim brojem prostornih dijagonala kvadra. Za $n=5$ je $D=5\cdot2=10 .$

Dakle, $n$ -tostrana prizma ima $2n$ temena, $3n$ ivica, $n+2$ strana i $n(n-3)$ dijagonala.

Započni učenje

Privatni časovi

154

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci