4769. Površina kruga i njegovih delova

REŠENJE ZADATKA

Neka je stranica kvadrata $a .$ Prečnik upisanog kruga jednak je stranici kvadrata, pa je njegov poluprečnik:

r=\frac{a}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad r^2=\frac{a^2}{4}

Prečnik opisanog kruga jednak je dijagonali $d$ kvadrata. Iz formule za površinu kvadrata $a^2=\frac{d^2}{2}$ dobijamo kvadrat poluprečnika opisanog kruga:

d^2=2a^2,\qquad R=\frac{d}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad R^2=\frac{d^2}{4}=\frac{a^2}{2}

Odnos površina krugova jednak je odnosu kvadrata njihovih poluprečnika:

\frac{P_{\text{op}}}{P_{\text{up}}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{a^2/2}{a^2/4}=2

Površina kruga opisanog oko kvadrata je $2$ puta veća od površine kruga upisanog u taj kvadrat.

72