6615. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Važi sledeće tvrđenje o preseku piramide ravni paralelnom osnovi: ako je $B$ površina osnove, $H$ visina piramide, a ravan paralelna osnovi na rastojanju $x$ od vrha, onda je presek mnogougao sličan osnovi sa koeficijentom sličnosti $k=\frac{x}{H} ,$ a njegova površina je $P_x=B\left(\frac{x}{H}\right)^2 .$ Zašto to važi: u svakoj bočnoj strani presečna ravan seče stranu po duži paralelnoj osnovnoj ivici (dve paralelne ravni seku treću ravan po paralelnim pravama). Zato su odsečeni trouglovi kod vrha slični bočnim stranama, pa su sve stranice preseka, kao i odsečeni delovi bočnih ivica, $k$ puta manji od odgovarajućih duži osnove i cele piramide. Kada se dužine smanje $k$ puta, površina sličnog mnogougla smanji se $k^2$ puta.

Neka je $H$ visina, a $B$ površina osnove. Deone tačke dele visinu na četiri dela dužine $\frac H4 ,$ pa su preseci na rastojanjima $\frac H4 ,$ $\frac{2H}4$ i $\frac{3H}4$ od vrha. Koeficijenti sličnosti su $\frac14 ,$ $\frac12 ,$ $\frac34 :$

P_1=B\left(\frac14\right)^2=\frac{B}{16},\qquad P_2=B\left(\frac24\right)^2=\frac{4B}{16},\qquad P_3=B\left(\frac34\right)^2=\frac{9B}{16}

Zbir površina preseka je $S :$

\frac{B}{16}+\frac{4B}{16}+\frac{9B}{16}=\frac{14B}{16}=\frac{7B}{8}=S

Množimo jednakost sa $\frac87 :$

B=\frac{8S}{7}

Provera za $B=16 :$ preseci imaju površine $1 ,$ $4$ i $9 ,$ pa je $S=14$ ; formula daje $\frac{8\cdot14}{7}=16 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Površina osnove piramide je $\frac87S .$

Započni učenje

Privatni časovi

164

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci