6621. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Važi sledeće tvrđenje o preseku piramide ravni paralelnom osnovi: ako je $B$ površina osnove, $H$ visina piramide, a ravan paralelna osnovi na rastojanju $x$ od vrha, onda je presek mnogougao sličan osnovi sa koeficijentom sličnosti $k=\frac{x}{H} ,$ a njegova površina je $P_x=B\left(\frac{x}{H}\right)^2 .$ Zašto to važi: u svakoj bočnoj strani presečna ravan seče stranu po duži paralelnoj osnovnoj ivici (dve paralelne ravni seku treću ravan po paralelnim pravama). Zato su odsečeni trouglovi kod vrha slični bočnim stranama, pa su sve stranice preseka, kao i odsečeni delovi bočnih ivica, $k$ puta manji od odgovarajućih duži osnove i cele piramide. Kada se dužine smanje $k$ puta, površina sličnog mnogougla smanji se $k^2$ puta.

Ravan preseka je na rastojanju $\frac34H$ od osnove (manja visina je $H$ ). Rastojanje preseka od vrha dobijamo oduzimanjem od visine piramide:

x_1=H-\frac34H=\frac14H,\qquad x_2=4H-\frac34H=\frac{13}{4}H

Koeficijenti sličnosti su $\frac{x_1}{H}=\frac14$ i $\frac{x_2}{4H}=\frac{13}{16} ,$ pa su površine preseka:

P_1=B\left(\frac14\right)^2=\frac{B}{16},\qquad P_2=B\left(\frac{13}{16}\right)^2=\frac{169B}{256}

Zaista je $P_1<P_2 .$ Delimo površine; $B$ se skraćuje:

\frac{P_1}{P_2}=\frac{B}{16}\cdot\frac{256}{169B}=\frac{16}{169}

Provera za $B=256 ,$ $H=4 :$ preseci su na visini $3 ,$ na rastojanjima $1$ i $13$ od vrhova; $P_1=256\cdot\frac{1}{16}=16 ,$ $P_2=256\cdot\frac{169}{256}=169 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Površine preseka odnose se kao $P_1:P_2=16:169 .$

Započni učenje

Privatni časovi

170

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci