6620. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Važi sledeće tvrđenje o preseku piramide ravni paralelnom osnovi: ako je $B$ površina osnove, $H$ visina piramide, a ravan paralelna osnovi na rastojanju $x$ od vrha, onda je presek mnogougao sličan osnovi sa koeficijentom sličnosti $k=\frac{x}{H} ,$ a njegova površina je $P_x=B\left(\frac{x}{H}\right)^2 .$ Zašto to važi: u svakoj bočnoj strani presečna ravan seče stranu po duži paralelnoj osnovnoj ivici (dve paralelne ravni seku treću ravan po paralelnim pravama). Zato su odsečeni trouglovi kod vrha slični bočnim stranama, pa su sve stranice preseka, kao i odsečeni delovi bočnih ivica, $k$ puta manji od odgovarajućih duži osnove i cele piramide. Kada se dužine smanje $k$ puta, površina sličnog mnogougla smanji se $k^2$ puta.

Neka je $H$ visina piramide, a ravan na rastojanju $x$ od vrha. Tada je visina zarubljene piramide $H-x .$ Uslov zadatka zapisujemo:

\frac{P_x}{B}=\frac{H-x}{H} \implies \left(\frac xH\right)^2=1-\frac xH

Uvodimo oznaku $t=\frac xH$ ( $0<t<1$ ) i dobijamo kvadratnu jednačinu:

t^2+t-1=0 \implies t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}

Rešenje $\frac{-1-\sqrt5}{2}$ je negativno i otpada, pa je $t=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618 .$ Iz same jednačine sledi $1-t=t^2 ,$ što koristimo za odnos delova visine:

\frac{x}{H-x}=\frac{t}{1-t}=\frac{t}{t^2}=\frac1t=\frac{2}{\sqrt5-1}=\frac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1{,}618

Provera za $H=1 :$ $x\approx0{,}618 ,$ pa je odnos površina $0{,}618^2\approx0{,}382 ,$ a odnos visina $\frac{1-0{,}618}{1}=0{,}382 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Ravan deli visinu, gledano od vrha, u odnosu $x:(H-x)=\frac{\sqrt5+1}{2}:1=(\sqrt5+1):2$ ; drugim rečima, deo uz vrh je $\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618$ cele visine (to je zlatni presek).

Započni učenje

Privatni časovi

169

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci