5423. Pojam izvoda funkcije

Primenjujemo definiciju: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Funkcija $y=\frac1x$ definisana je za $x\neq0 .$

Razliku razlomaka svodimo na zajednički imenilac $x(x+\Delta x) :$

\Delta y=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac1x=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}

Posle deljenja sa $\Delta x$ priraštaj se skraćuje:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}

Kada $\Delta x\to0 ,$ imenilac $x(x+\Delta x)$ teži ka $x\cdot x=x^2 :$

y'=\lim_{\Delta x\to0}\left(-\frac{1}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{1}{x^2}

Provera za $x=2 :$ $-\frac14=-0{,}25 ,$ a količnici su $-0{,}2381 ,$ $-0{,}24876 ,$ $-0{,}24988$ za $\Delta x=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$ Izvod je negativan, jer $\frac1x$ opada.

Izvod funkcije $y=\frac1x$ je $y'=-\frac{1}{x^2} ,$ za $x\neq0 .$

Započni učenje

Online časovi

172.d

Beleške