5428. Pojam izvoda funkcije

Izvod tražimo po definiciji: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Izraz $3x^2+1$ je uvek pozitivan, pa je $y=\sqrt{3x^2+1}$ definisana za svako realno $x :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{3(x+\Delta x)^2+1}-\sqrt{3x^2+1}}{\Delta x}

Množimo brojilac i imenilac zbirom korena i koristimo $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 .$ U brojiocu ostaje razlika potkorenih izraza:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3(x+\Delta x)^2+1-3x^2-1}{\Delta x\left(\sqrt{3(x+\Delta x)^2+1}+\sqrt{3x^2+1}\right)}

Brojilac je $3(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2)-3x^2=6x\Delta x+3\Delta x^2=\Delta x(6x+3\Delta x) ,$ pa se $\Delta x$ skraćuje:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6x+3\Delta x}{\sqrt{3(x+\Delta x)^2+1}+\sqrt{3x^2+1}}

Kada $\Delta x\to0 ,$ brojilac teži ka $6x ,$ a oba korena ka $\sqrt{3x^2+1} :$

y'=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}

Provera za $x=1 :$ $\frac{3}{\sqrt4}=1{,}5 ,$ a količnici su $1{,}5174 ,$ $1{,}5019 ,$ $1{,}5002$ za $\Delta x=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Izvod funkcije $y=\sqrt{3x^2+1}$ je $y'=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}} .$

Započni učenje

Online časovi

172.j

Beleške