5432. Pojam izvoda funkcije

Po definiciji, priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Tvrđenje „priraštaj je za svako $x$ jednak $a\Delta x$ ” znači da za svaku početnu tačku $x$ i svaki priraštaj $\Delta x$ važi:

f(x+\Delta x)-f(x)=a\Delta x

Tvrđenje „ako i samo ako” ima dva smera. Prvi smer: neka je $f(x)=ax+b .$ Računamo priraštaj; sabirci $ax$ i $b$ se potiru:

f(x+\Delta x)-f(x)=a(x+\Delta x)+b-(ax+b)=a\Delta x

Na primer, za $f(x)=3x-1 ,$ $x=2 ,$ $\Delta x=0{,}5 :$ $f(2{,}5)-f(2)=6{,}5-5=1{,}5=3\cdot0{,}5 .$ Time je prvi smer dokazan.

Drugi smer: pretpostavimo da je $f(x+\Delta x)-f(x)=a\Delta x$ za svako $x$ i svako $\Delta x .$ Pošto ovo važi za sve brojeve, smemo da izaberemo početnu tačku $0$ i priraštaj $\Delta x=x ,$ gde je $x$ proizvoljan broj:

f(0+x)-f(0)=a\cdot x \implies f(x)=ax+f(0)

Broj $f(0)$ ne zavisi od $x ,$ pa ga označimo sa $b=f(0) .$ Dobili smo $f(x)=ax+b$ za svako $x .$

Dokazali smo oba smera: priraštaj funkcije je za svako $x$ jednak $a\Delta x$ tačno onda kada je $f(x)=ax+b ,$ pri čemu je $b=f(0) .$

Započni učenje

Online časovi

173.a

Beleške