5433. Pojam izvoda funkcije

Prema definiciji, priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Pretpostavimo da postoji funkcija $f$ za koju je priraštaj uvek isti broj $c\neq0 ,$ bez obzira na početnu tačku $x$ i na priraštaj $\Delta x\neq0 :$

f(x+\Delta x)-f(x)=c

Intuicija: ako napravimo dva koraka dužine $h ,$ funkcija se promeni za $c$ dvaput, tj. za $2c .$ Ali ta dva koraka zajedno čine jedan korak dužine $2h ,$ posle koga se funkcija menja samo za $c .$ Zapišimo to računom; razliku $f(x+2h)-f(x)$ rastavljamo dodavanjem i oduzimanjem $f(x+h) :$

f(x+2h)-f(x)=\left[f(x+2h)-f(x+h)\right]+\left[f(x+h)-f(x)\right]=c+c=2c

S druge strane, isti izraz je priraštaj u tački $x$ za $\Delta x=2h ,$ pa je po pretpostavci jednak $c .$ Izjednačavamo dva rezultata:

2c=c \implies c=0

Dobili smo $c=0 ,$ a pretpostavili smo $c\neq0 .$ Dakle, takva funkcija ne postoji: priraštaj mora zavisiti od toga koliko je $\Delta x ,$ a konstantan priraštaj $c=0$ ima samo konstantna funkcija.

Započni učenje

Online časovi

173.b

Beleške