5412. Pojam izvoda funkcije

Prema definiciji, priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Za $f(x)=\sqrt x$ i $x=4$ je $f(4)=2 ,$ pa je:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{4+\Delta x}-2}{\Delta x}

Ako uvrstimo $\Delta x=0 ,$ dobijamo $\frac00 ,$ što nema smisla. Zato brojilac i imenilac množimo sa $\sqrt{4+\Delta x}+2$ i koristimo formulu $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 :$

\frac{\left(\sqrt{4+\Delta x}-2\right)\left(\sqrt{4+\Delta x}+2\right)}{\Delta x\left(\sqrt{4+\Delta x}+2\right)}=\frac{4+\Delta x-4}{\Delta x\left(\sqrt{4+\Delta x}+2\right)}=\frac{1}{\sqrt{4+\Delta x}+2}

Za $\Delta x=0{,}4$ imamo $\sqrt{4{,}4}\approx2{,}0976 ,$ pa je:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2{,}0976+2}\approx0{,}2440

Isto dobijamo i direktno iz početnog oblika: $\frac{2{,}0976-2}{0{,}4}=\frac{0{,}0976}{0{,}4}=0{,}244 .$ Smanjujemo $\Delta x :$

\Delta x=0{,}4:\ 0{,}2440, \qquad \Delta x=0{,}04:\ 0{,}2494, \qquad \Delta x=0{,}004:\ 0{,}24994

Kada $\Delta x\to0 ,$ $\sqrt{4+\Delta x}$ se približava broju $\sqrt4=2$ (npr. $\sqrt{4{,}004}\approx2{,}001$ ), pa imenilac teži broju $4 :$

\lim_{\Delta x\to0}\frac{1}{\sqrt{4+\Delta x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14

Za $\Delta x=0{,}4$ količnik je približno $0{,}244 ,$ a kad $\Delta x\to0$ on teži broju $\frac14 .$

Započni učenje

Online časovi

169.v

Beleške