5426. Pojam izvoda funkcije

Po definiciji, prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Za $y=\sqrt x$ posmatramo $x>0 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x}{\Delta x}

Direktno uvrštavanje $\Delta x=0$ daje $\frac00 .$ Racionališemo brojilac: množimo sa $\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x$ i koristimo $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}

Kada $\Delta x\to0 ,$ $\sqrt{x+\Delta x}$ teži ka $\sqrt x :$

y'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}=\frac{1}{2\sqrt x}

Provera za $x=4 :$ formula daje $\frac{1}{4}=0{,}25 ,$ a količnici su $0{,}24846 ,$ $0{,}24984 ,$ $0{,}249984$ za $\Delta x=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Izvod kvadratnog korena je $y'=\frac{1}{2\sqrt x} ,$ za $x>0 .$

Započni učenje

Online časovi

172.g

Beleške