5427. Pojam izvoda funkcije

Po definiciji, prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Funkcija $y=\frac{1}{2x^2-3}$ definisana je kada imenilac nije nula, tj. za $x\neq\pm\sqrt{\frac32} .$

Priraštaj svodimo na zajednički imenilac. U brojiocu ostaje $(2x^2-3)-\left(2(x+\Delta x)^2-3\right) :$

\Delta y=\frac{1}{2(x+\Delta x)^2-3}-\frac{1}{2x^2-3}=\frac{(2x^2-3)-\left(2(x+\Delta x)^2-3\right)}{\left(2(x+\Delta x)^2-3\right)(2x^2-3)}

Sređujemo brojilac pomoću $(x+\Delta x)^2=x^2+2x\Delta x+\Delta x^2$ ; brojevi $-3$ i $2x^2$ se potiru:

2x^2-3-2x^2-4x\Delta x-2\Delta x^2+3=-\Delta x(4x+2\Delta x)

Delimo sa $\Delta x :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{4x+2\Delta x}{\left(2(x+\Delta x)^2-3\right)(2x^2-3)}

Kada $\Delta x\to0 ,$ brojilac teži ka $4x ,$ a prvi činilac imenioca ka $2x^2-3 :$

y'=-\frac{4x}{(2x^2-3)(2x^2-3)}=-\frac{4x}{(2x^2-3)^2}

Provera za $x=1 :$ formula daje $-\frac{4}{(-1)^2}=-4 ,$ a količnici su $-7{,}24 ,$ $-4{,}188 ,$ $-4{,}018$ za $\Delta x=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Izvod je $y'=-\frac{4x}{(2x^2-3)^2} ,$ za $x\neq\pm\sqrt{\frac32} .$

Započni učenje

Online časovi

172.i

Beleške