5431. Pojam izvoda funkcije

Prema definiciji, prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Funkcija $y=\frac ax$ definisana je za $x\neq0 .$

Priraštaj svodimo na zajednički imenilac $x(x+\Delta x) :$

\Delta y=\frac{a}{x+\Delta x}-\frac ax=\frac{ax-a(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{a\Delta x}{x(x+\Delta x)}

Delimo sa $\Delta x$ i puštamo $\Delta x\to0$ ; imenilac teži ka $x^2 :$

y'=\lim_{\Delta x\to0}\left(-\frac{a}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{a}{x^2}

Provera za $a=2,\ x=1 :$ $y'=-2$ ; za $\Delta x=0{,}01$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{2}{1\cdot1{,}01}\approx-1{,}98 .$

Za $x\neq0$ izvod je $y'=-\frac{a}{x^2} .$

Započni učenje

Online časovi

172.ž

Beleške