5418. Pojam izvoda funkcije

Prema definiciji, priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Funkcija $y=\frac1{x^2}$ je definisana za $x\neq0 ,$ pa mora biti $x\neq0$ i $x+\Delta x\neq0 :$

\Delta y=\frac{1}{(x+\Delta x)^2}-\frac{1}{x^2}

Svodimo na zajednički imenilac $x^2(x+\Delta x)^2$ i u brojiocu koristimo $(x+\Delta x)^2=x^2+2x\Delta x+\Delta x^2 :$

\Delta y=\frac{x^2-(x+\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2}=\frac{x^2-x^2-2x\Delta x-\Delta x^2}{x^2(x+\Delta x)^2}=-\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{x^2(x+\Delta x)^2}

U brojiocu izvlačimo $\Delta x$ ispred zagrade, pa ga posle deljenja sa $\Delta x$ skraćujemo:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{x^2(x+\Delta x)^2\,\Delta x}=-\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}

Provera za $x=1,\ \Delta x=1 :$ direktno $\Delta y=\frac14-1=-0{,}75 ,$ a po formuli $-\frac{2+1}{1\cdot4}=-0{,}75 .$ Pazite na znak minus ispred razlomka: lako se izgubi pri oduzimanju $x^2-(x+\Delta x)^2 .$

Dobili smo $\Delta y=-\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{x^2(x+\Delta x)^2}$ i $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

170.v

Beleške