5414. Pojam izvoda funkcije

Podsetimo se: priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Za $y=x^3 ,$ kada se argument menja od $x$ do $x+\Delta x :$

\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3

Razvijamo kub zbira po formuli $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ; sabirak $x^3$ se skraćuje:

\Delta y=x^3+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3-x^3=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3

Svaki sabirak sadrži $\Delta x ,$ pa deljenjem sa $\Delta x\neq0$ dobijamo:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2

Provera za $x=2,\ \Delta x=0{,}5 :$ formula daje $\Delta y=12\cdot0{,}5+6\cdot0{,}25+0{,}125=7{,}625 ,$ a direktno je $2{,}5^3-2^3=15{,}625-8=7{,}625 .$

Traženi izrazi su $\Delta y=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3$ i $\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2 .$

Započni učenje

Online časovi

170.b

Beleške