5429. Pojam izvoda funkcije

Polazimo od definicije: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Funkcija $y=\sqrt[3]{x^2}$ je definisana za svako realno $x ,$ jer kubni koren postoji i za negativne brojeve.

Uvodimo $u=\sqrt[3]{x+\Delta x}$ i $v=\sqrt[3]{x} .$ Tada je $y(x+\Delta x)=u^2 ,$ $y(x)=v^2 ,$ $x+\Delta x=u^3$ i $x=v^3 :$

\Delta y=u^2-v^2=(u-v)(u+v), \qquad \Delta x=u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

Skraćujemo činilac $u-v\neq0 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{u+v}{u^2+uv+v^2}

Kada $\Delta x\to0 ,$ $u$ teži ka $v .$ Ako je $x\neq0 ,$ onda je $v\neq0$ i dobijamo:

y'=\frac{2v}{3v^2}=\frac{2}{3v}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}=\frac23x^{-\frac13}

Provera za $x=8 :$ formula daje $\frac{2}{3\cdot2}=\frac13\approx0{,}3333 ,$ a količnici su $0{,}33264$ za $\Delta x=0{,}1$ i $0{,}33326$ za $\Delta x=0{,}01 .$ Za $x=0$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt[3]{\Delta x^2}}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x}} ,$ što nije ograničeno, pa u nuli izvod ne postoji.

Za $x\neq0$ je $y'=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} .$

Započni učenje

Online časovi

172.v

Beleške