5422. Pojam izvoda funkcije

Koristimo definiciju: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Funkcija $y=x^{\frac34}=\sqrt[4]{x^3}$ je definisana za $x\ge0$ ; posmatramo $x>0 .$

Da bismo se oslobodili razlomljenog izložioca, uvodimo oznake $u=\sqrt[4]{x+\Delta x}$ i $v=\sqrt[4]{x} .$ Tada je $x+\Delta x=u^4 ,$ $x=v^4 ,$ pa se priraštaji zapisuju kao:

\Delta y=u^3-v^3, \qquad \Delta x=u^4-v^4

Rastavljamo na činioce: $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$ i $u^4-v^4=(u^2-v^2)(u^2+v^2)=(u-v)(u+v)(u^2+v^2) .$ Činilac $u-v$ je različit od nule jer je $\Delta x\neq0 ,$ pa ga skraćujemo:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{(u-v)(u+v)(u^2+v^2)}=\frac{u^2+uv+v^2}{(u+v)(u^2+v^2)}

Kada $\Delta x\to0 ,$ $u=\sqrt[4]{x+\Delta x}$ se približava broju $v=\sqrt[4]x .$ Zamenimo $u$ sa $v :$

y'=\frac{v^2+v^2+v^2}{2v\cdot2v^2}=\frac{3v^2}{4v^3}=\frac{3}{4v}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}=\frac34x^{-\frac14}

Provera za $x=16 :$ formula daje $\frac{3}{4\cdot2}=0{,}375 ,$ a količnici su $0{,}37471$ za $\Delta x=0{,}1$ i $0{,}37497$ za $\Delta x=0{,}01 .$ U tački $x=0$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x^{3/4}}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt[4]{\Delta x}} ,$ što raste preko svake granice, pa tu izvod ne postoji.

Za $x>0$ izvod je $y'=\frac34x^{-\frac14}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}} .$

Započni učenje

Online časovi

172.b

Beleške