5421. Pojam izvoda funkcije

Izvod određujemo po definiciji: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Tačku ćemo označavati samo sa $x ,$ pa tražimo $\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^4-x^4}{\Delta x} .$

Četvrti stepen zbira dobijamo kvadriranjem kvadrata, $(x+\Delta x)^4=\left((x+\Delta x)^2\right)^2 ,$ i množenjem zagrada:

(x+\Delta x)^4=x^4+4x^3\Delta x+6x^2\Delta x^2+4x\Delta x^3+\Delta x^4

Oduzimamo $x^4$ i delimo sa $\Delta x\neq0 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4x^3\Delta x+6x^2\Delta x^2+4x\Delta x^3+\Delta x^4}{\Delta x}=4x^3+6x^2\Delta x+4x\Delta x^2+\Delta x^3

Za $x=1$ količnik iznosi $4{,}641$ pri $\Delta x=0{,}1 ,$ $4{,}0604$ pri $\Delta x=0{,}01$ i $4{,}006$ pri $\Delta x=0{,}001 ,$ dakle teži broju $4=4\cdot1^3 .$ U opštem slučaju svi sabirci sa $\Delta x$ nestaju:

y'=\lim_{\Delta x\to0}\left(4x^3+6x^2\Delta x+4x\Delta x^2+\Delta x^3\right)=4x^3

Izvod funkcije $y=x^4$ je $y'=4x^3 .$

Započni učenje

Online časovi

172.a

Beleške