5420. Pojam izvoda funkcije

Da bismo uporedili $f(x_0)$ i $f'(x_0) ,$ prvo nalazimo izvod u proizvoljnoj tački $x_0 .$ Po definiciji, prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$

Razvijamo $(x_0+\Delta x)^2=x_0^2+2x_0\Delta x+\Delta x^2 ,$ skraćujemo $x_0^2$ i delimo sa $\Delta x\neq0 :$

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2x_0\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(2x_0+\Delta x)=2x_0

Uslov $f(x_0)=f'(x_0)$ postaje kvadratna jednačina. Prebacimo sve na levu stranu i izvučemo $x_0$ ispred zagrade:

x_0^2=2x_0 \implies x_0^2-2x_0=0 \implies x_0(x_0-2)=0

Proizvod je nula kada je bar jedan činilac nula, pa su rešenja $x_0=0$ i $x_0=2 .$ Pazite: ne smemo deliti jednačinu $x_0^2=2x_0$ sa $x_0 ,$ jer bismo izgubili rešenje $x_0=0 .$

x_0=0 \quad \text{ili} \quad x_0=2

Provera: $f(0)=0$ i $f'(0)=2\cdot0=0$ ; $f(2)=4$ i $f'(2)=2\cdot2=4 .$

Uslov $f(x_0)=f'(x_0)$ je ispunjen u dve tačke: $x_0=0$ i $x_0=2 .$

Započni učenje

Online časovi

171.b

Beleške