5419. Pojam izvoda funkcije

Izvod tražimo po definiciji: prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Postupak je uvek isti: napišemo količnik priraštaja, uprostimo ga i pustimo $\Delta x\to0 .$

Za $x_0=5 :$ razvijamo $(5+\Delta x)^2$ po formuli $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i skraćujemo $25 ,$ pa delimo sa $\Delta x\neq0 :$

\frac{(5+\Delta x)^2-5^2}{\Delta x}=\frac{25+10\Delta x+\Delta x^2-25}{\Delta x}=\frac{10\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=10+\Delta x

Brojevi pokazuju kuda količnik ide: za $\Delta x=0{,}1$ je $10{,}1 ,$ za $\Delta x=0{,}01$ je $10{,}01 ,$ a za $\Delta x=-0{,}01$ je $9{,}99 .$ Granična vrednost je zato:

f'(5)=\lim_{\Delta x\to0}(10+\Delta x)=10

Za $x_0=-2$ radimo isto. Pazite na znak: $(-2+\Delta x)^2=4-4\Delta x+\Delta x^2 :$

f'(-2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(-2+\Delta x)^2-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-4\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(-4+\Delta x)=-4

Za $x_0=-\frac32$ je $\left(-\frac32+\Delta x\right)^2=\frac94-3\Delta x+\Delta x^2 :$

f'\left(-\frac32\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac94-3\Delta x+\Delta x^2-\frac94}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(-3+\Delta x)=-3

Primećujemo pravilo: u svakoj tački je izvod dvostruko veći od same tačke, $10=2\cdot5 ,$ $-4=2\cdot(-2) ,$ $-3=2\cdot\left(-\frac32\right) .$ Tražene vrednosti su $f'(5)=10 ,$ $f'(-2)=-4$ i $f'\left(-\frac32\right)=-3 .$

Započni učenje

Online časovi

171.a

Beleške