5424. Pojam izvoda funkcije

Po definiciji, prvi izvod $f'(x_0)$ funkcije $f$ u tački $x_0$ njenog domena je konačna granična vrednost, ako postoji, $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .$ Ovde je:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{12}\cdot\frac{(x+\Delta x)^{12}-x^{12}}{\Delta x}

Razvijanje dvanaestog stepena bilo bi dugačko, pa koristimo formulu za razliku stepena: $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right) .$ Za $a=x+\Delta x ,$ $b=x$ je $a-b=\Delta x ,$ pa se $\Delta x$ skraćuje:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{12}\left((x+\Delta x)^{11}+(x+\Delta x)^{10}x+\dots+(x+\Delta x)x^{10}+x^{11}\right)

U zagradi je tačno $12$ sabiraka. Kada $\Delta x\to0 ,$ svaki od njih teži ka $x^{11} ,$ pa zbir teži ka $12x^{11} :$

y'=\frac{1}{12}\cdot12x^{11}=x^{11}

Provera za $x=1 :$ formula daje $1 ,$ a količnici su $1{,}782 ,$ $1{,}0569 ,$ $1{,}0055$ za $\Delta x=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Izvod funkcije $y=\frac{1}{12}x^{12}$ je $y'=x^{11} .$

Započni učenje

Online časovi

172.đ

Beleške