5411. Pojam izvoda funkcije

Količnik priraštaja gradimo iz definicije: priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Za $f(x)=\frac1x$ u tački $x=2 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac12}{\Delta x}

Razlomke u brojiocu svodimo na zajednički imenilac $2(2+\Delta x) :$

\frac{1}{2+\Delta x}-\frac12=\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}

Delimo sa $\Delta x\neq0 ,$ pa se $\Delta x$ skraćuje:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)\,\Delta x}=-\frac{1}{2(2+\Delta x)}

Za $\Delta x=0{,}01$ uvrštavamo u dobijeni izraz:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\cdot2{,}01}=-\frac{1}{4{,}02}\approx-0{,}2488

Pogledajmo vrednosti za još manje priraštaje, i sa pozitivne i sa negativne strane:

\Delta x=0{,}01:\ -0{,}24876, \qquad \Delta x=0{,}001:\ -0{,}24988, \qquad \Delta x=-0{,}001:\ -0{,}25013

Brojevi se gomilaju oko $-0{,}25 .$ Kada $\Delta x\to0 ,$ imenilac $2(2+\Delta x)$ teži broju $4 :$

\lim_{\Delta x\to0}\left(-\frac{1}{2(2+\Delta x)}\right)=-\frac{1}{2\cdot2}=-\frac14

Za $\Delta x=0{,}01$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{4{,}02}\approx-0{,}249 ,$ a granična vrednost količnika iznosi $-\frac14 .$

Započni učenje

Online časovi

169.b

Beleške