5410. Pojam izvoda funkcije

Po definiciji, priraštaj nezavisno promenljive je $\Delta x=x-x_0 ,$ a priraštaj funkcije $f$ u tački $x_0$ je izraz $\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) ,$ koji kraće označavamo sa $\Delta y .$ Količnik $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ pokazuje koliko se, u proseku, promeni $y$ kada se $x$ promeni za jedinicu. Ovde je $f(x)=2x^3-x^2+1$ i početna tačka je $x=1 :$

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

Za $\Delta x=0{,}1$ nova tačka je $1{,}1 .$ Računamo vrednosti funkcije, koristeći $1{,}1^2=1{,}21$ i $1{,}1^3=1{,}331 :$

f(1)=2-1+1=2, \qquad f(1{,}1)=2\cdot1{,}331-1{,}21+1=2{,}452

Sada imamo priraštaj funkcije i traženi količnik:

\Delta y=2{,}452-2=0{,}452, \qquad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0{,}452}{0{,}1}=4{,}52

Da bismo našli graničnu vrednost, treba nam količnik za proizvoljno $\Delta x .$ Razvijamo $f(1+\Delta x)$ pomoću formula $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ i $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 :$

f(1+\Delta x)=2(1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3)-(1+2\Delta x+\Delta x^2)+1=2+4\Delta x+5\Delta x^2+2\Delta x^3

Oduzmemo $f(1)=2$ i podelimo sa $\Delta x .$ Deljenje je dozvoljeno jer je $\Delta x\neq0$ (priraštaj teži nuli, ali nikad nije jednak nuli):

\Delta y=4\Delta x+5\Delta x^2+2\Delta x^3 \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}=4+5\Delta x+2\Delta x^2

Provera: za $\Delta x=0{,}1$ dobijamo $4+0{,}5+0{,}02=4{,}52 ,$ isto kao malopre. Pogledajmo šta se dešava kada $\Delta x$ postaje sve manji:

\Delta x=0{,}1:\ 4{,}52, \qquad \Delta x=0{,}01:\ 4{,}0502, \qquad \Delta x=0{,}001:\ 4{,}005002

Vrednosti se približavaju broju $4 .$ To potvrđuje i račun: sabirci $5\Delta x$ i $2\Delta x^2$ teže nuli kada $\Delta x\to0 :$

\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left(4+5\Delta x+2\Delta x^2\right)=4

Za $\Delta x=0{,}1$ količnik iznosi $\frac{\Delta y}{\Delta x}=4{,}52 ,$ a njegova granična vrednost kad $\Delta x\to0$ je $4 .$ Prema definiciji izvoda, to znači da je $f'(1)=4 .$

Započni učenje

Online časovi

169.a

Beleške