Trigonometrijske relacije sa sekansom i tangensom

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

\tg{\alpha}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac 1 {\sec{\alpha}-\tg{\alpha}}, \alpha{=}\mathllap{/\,}\frac {\pi} 2+k\pi,k\in Z

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac 1 {\sec{\alpha}-\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}}

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\sec{\alpha}=\frac 1 {\cos{\alpha}}$

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac 1 {\frac 1 {\cos{\alpha}} -\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}}= \frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac 1 {\frac {1-\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}}

Osloboditi se dvojnog razlomka:

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac {\cos{\alpha}} {1-\sin{\alpha}}

Racionalisati razlomak:

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac {\cos{\alpha}} {1-\sin{\alpha}} *\frac {1+\sin{\alpha}} {1+\sin{\alpha}}

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac {\cos{\alpha}(1+\sin{\alpha})} {1-\sin^2{\alpha}}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}+ \frac 1 {\cos^3{\alpha}}-\frac {\cos{\alpha}(1+\sin{\alpha})} {\cos^2{\alpha}}

Svesti sve činioce izraza na isti imenilac:

\frac {\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}+1-\cos^2{\alpha}(1+\sin{\alpha})} {\cos^3{\alpha}}

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

\frac {\cos^2{\alpha}(\sin{\alpha}-(1+\sin{\alpha}))+1} {\cos^3{\alpha}}=\frac {\cos^2{\alpha}(\sin{\alpha}-1-\sin{\alpha})+1} {\cos^3{\alpha}}=\frac {1-\cos^2} {\cos^3}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac {\sin^2{\alpha}} {\cos^3{\alpha}}

Trigonometrija 7