Trigonometrijske relacije: (tg alfa − sin alfa) kvadrat

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

(\tg{\alpha}-\sin{\alpha})^2+(1-\cos{\alpha})^2, \alpha{=}\mathllap{/\,}\frac {\pi} 2+k\pi,k\in Z

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kvadrat binoma: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

\tg^2{\alpha}-2\tg{\alpha}\sin{\alpha}+\sin^2{\alpha}+1-2\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\frac {\sin^2{\alpha}} {\cos^2{\alpha}}-2\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}\sin{\alpha}+\sin^2{\alpha}+1-2\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac {\sin^2{\alpha}} {\cos^2{\alpha}}-2\frac {\sin^2{\alpha}} {\cos{\alpha}}+1-2\cos{\alpha}+1= \frac {\sin^2{\alpha}} {\cos^2{\alpha}}-2\frac {\sin^2{\alpha}} {\cos{\alpha}}+2-2\cos{\alpha}

Svesti sve činioce izraza na isti imenilac:

\frac {\sin^2{\alpha}-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}+2\cos^2{\alpha}-2\cos^3{\alpha}} {\cos^2{\alpha}}

Srediti izraz tako da se može primeniti osnovna relacija između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac {\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})} {\cos^2{\alpha}}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac {1+\cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}*1} {\cos^2{\alpha}}

Primeniti formulu za kvadrat binoma: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

\frac {(1-\cos{\alpha})^2} {\cos^2{\alpha}}=\bigg(\frac {1-\cos{\alpha}} {\cos{\alpha}}\bigg)^2=\bigg(\frac 1 {\cos{\alpha}}-\frac {\cos{\alpha}} {\cos{\alpha}}\bigg)^2=\bigg(\frac 1 {\cos{\alpha}}-1\bigg)^2

Trigonometrija 6