5559. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) :$ izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, puta izvod unutrašnje.

Izvod korena: $\left(\sqrt{1+\sin^2x}\right)'=\frac{2\sin x\cos x}{2\sqrt{1+\sin^2x}}=\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}} .$ Pravilo za proizvod daje:

y'=-\sin x\sqrt{1+\sin^2x}+\cos x\cdot\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

Svodimo na imenilac $\sqrt{1+\sin^2x}$ i koristimo $\cos^2x=1-\sin^2x :$

y'=\frac{-\sin x(1+\sin^2x)+\sin x(1-\sin^2x)}{\sqrt{1+\sin^2x}}=\frac{-2\sin^3x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx-0{,}9118 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx-0{,}9119 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=-\frac{2\sin^3x}{\sqrt{1+\sin^2x}} .$

Započni učenje

Online časovi

189.b

Beleške