5553. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod količnika, za $g(x)\neq0$ važi $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} .$ Koristimo $(\sin x)'=\cos x$ i $(\cos x)'=-\sin x .$ Potrebno je $\cos x+x\sin x\neq0 .$

Izvode brojioca i imenioca računamo pravilom za proizvod $(fg)'=f'g+fg'$ ; mnogo toga se potire:

(\sin x-x\cos x)'=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x, \qquad (\cos x+x\sin x)'=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x

Uvrštavamo u pravilo za količnik:

y'=\frac{x\sin x(\cos x+x\sin x)-(\sin x-x\cos x)x\cos x}{(\cos x+x\sin x)^2}

Množimo; $x\sin x\cos x$ se potire, a ostaje $x^2(\sin^2x+\cos^2x)=x^2 :$

y'=\frac{x^2\sin^2x+x^2\cos^2x}{(\cos x+x\sin x)^2}=\frac{x^2}{(\cos x+x\sin x)^2}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx0{,}5238 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}5238 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Izvod je $y'=\frac{x^2}{(\cos x+x\sin x)^2} .$

Započni učenje

Online časovi

188.a

Beleške