5546. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) :$ izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, puta izvod unutrašnje. Izvod kubnog korena, $(x^{\frac13})'=\frac13x^{-\frac23} ,$ ne postoji za $x=0 ,$ pa posmatramo $x\neq0 .$

Spoljašnja funkcija je $u^3 ,$ unutrašnja $u=1+\sqrt[3]x :$

y'=3\left(1+\sqrt[3]x\right)^2\cdot\frac13x^{-\frac23}

Trojke se skraćuju, a $x^{-\frac23}=\frac1{\sqrt[3]{x^2}} :$

y'=\frac{\left(1+\sqrt[3]x\right)^2}{\sqrt[3]{x^2}}

Provera: u tački $x=1$ dobijena formula daje $y'(1)\approx4 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx3{,}9999 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x\neq0$ je $y'=\frac{\left(1+\sqrt[3]x\right)^2}{\sqrt[3]{x^2}} .$

Započni učenje

Online časovi

187.a

Beleške