2017. Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Prvo ćemo kvadrirati dati izraz $\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3$ kako bismo dobili vezu između kvadrata ovih funkcija.

(\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)^2 = 3^2

Primenom formule za kvadrat binoma dobijamo sledeći izraz:

\text{tg}^2 \alpha + 2 \text{tg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9

Znamo da je osnovni trigonometrijski identitet $\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 .$ Zamenom te vrednosti dobijamo:

\text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2 \alpha = 9 \implies \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7

Sada posmatramo kvadrat izraza koji treba da odredimo, $(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 :$

(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \alpha - 2 \text{tg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \alpha

Zamenom već izračunatih vrednosti $\text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7$ i $\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1$ u ovaj izraz, računamo:

(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = 7 - 2 \cdot 1 = 5

Konačno, korenujemo dobijeni rezultat. Kako predznak nije određen intervalom ugla, rešenje može biti i pozitivno i negativno.

\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha = \pm \sqrt{5}

603.a