Razlika kvadrata tangensa i kotangensa uz zbir 3

Primetimo da je traženi izraz razlika kvadrata, koju možemo rastaviti na činioce:

\text{tg}^2 \, \alpha - \text{ctg}^2 \, \alpha = (\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)

Vrednost prvog činioca je data u zadatku: $\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 .$ Da bismo pronašli vrednost drugog činioca, prvo ćemo kvadrirati izraz za razliku:

(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \, \alpha - 2 \text{tg} \, \alpha \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha

Znamo da je $\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 ,$ pa izraz postaje:

(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha - 2

Sada ćemo kvadrirati datu jednakost $\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3$ kako bismo dobili vrednost $\text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha :$

(\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)^2 = 3^2 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + 2 \text{tg} \, \alpha \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha = 9 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + 2(1) + \text{ctg}^2 \, \alpha = 9 \\ \text{tg}^2 \, \alpha + \text{ctg}^2 \, \alpha = 7

Vraćamo se na kvadrat razlike i menjamo dobijenu vrednost:

(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = 7 - 2 = 5

Odavde sledi da je razlika:

\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha = \pm \sqrt{5}

Konačno, računamo vrednost početnog izraza množenjem poznatih činilaca:

\text{tg}^2 \, \alpha - \text{ctg}^2 \, \alpha = 3 \cdot (\pm \sqrt{5}) = \pm 3\sqrt{5}

Započni učenje

Privatni časovi

603.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci